C’est quoi une intégrale ?

Un compteur électrique additionne la puissance consommée seconde après seconde pour donner l’énergie en kWh. Une voiture qui roule à vitesse variable parcourt une distance qu’on peut retrouver à partir de sa vitesse. Additionner une grandeur qui change sans arrêt, c’est intégrer.

De la somme de rectangles à l’intégrale

On découpe l’intervalle [a ; b] en petites tranches, on approche l’aire de chaque tranche par un rectangle, puis on additionne. Plus les tranches sont fines, plus le résultat est précis : à la limite, on obtient l’intégrale.

Exemple : ∫₀³ x² dx. Une primitive de x² est x³/3. Résultat : 27/3 − 0 = 9.

Exemple physique : une voiture accélère avec v(t) = 2t m/s. La distance parcourue en 10 s vaut ∫₀¹⁰ 2t dt = [t²]₀¹⁰ = 100 m. C’est l’aire du triangle sous la droite : 10 × 20 / 2 = 100.

L’essentiel à retenir

Pour une fonction f positive, l’intégrale de a à b est l’aire comprise entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b.

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), avec F une primitive de f — valeur moyenne : (1 / (b − a)) × ∫_a^b f(x) dx

Le piège à éviter

Beaucoup pensent qu’une intégrale est toujours une aire positive. Quand la courbe passe sous l’axe, cette partie compte négativement. L’intégrale de sin x de 0 à 2π vaut 0 : les deux bosses, l’une au-dessus, l’autre en dessous, s’annulent.

À quoi ça sert ?

Énergie = intégrale de la puissance ; distance = intégrale de la vitesse ; charge électrique = intégrale du courant ; valeur moyenne d’un signal = intégrale divisée par la durée. Dès qu’une grandeur varie, l’intégrale permet d’en faire le bilan.