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Un exercice sur le système du premier ordre, avec des valeurs qui changent à chaque fois. Réponds aux questions, vérifie, puis compare ta démarche avec le corrigé détaillé.

Énoncé

Un moteur à courant continu est modélisé par un premier ordre : Ω(p) ÷ U(p) = K ÷ (1 + τp). On lui applique un échelon de tension E0 = 24 V. Le relevé de la vitesse donne :

  • vitesse finale ω∞ = 127,2 rad/s ;
  • la vitesse atteint 80,4 rad/s (63,2 % de ω∞) à l’instant t = 87 ms.

Le bouton « Nouvel exercice », en haut, tire de nouvelles valeurs.

Tes réponses

rad·s⁻¹·V⁻¹
ms
ms
Voir le corrigé détaillé
  1. Gain statique : en régime permanent, ω∞ = K × E0, donc K = ω∞ ÷ E0 = 127,2 ÷ 24 = 5,3 rad·s⁻¹·V⁻¹.
  2. Constante de temps : pour t = τ, ω(τ) = ω∞ × (1 − e⁻¹) ≈ 0,632 × ω∞ = 80,4 rad/s. Le relevé donne donc τ = 87 ms.
  3. Temps de réponse à 5 % : ω(t) atteint 95 % de ω∞ quand e^(−t/τ) = 0,05, soit t = τ × ln 20 ≈ 3τ = 261 ms.

Contrôle : la pente de la tangente à l’origine vaut ω∞ ÷ τ = 1 462 rad/s².

La méthode

  1. Modèle : H(p) = K ÷ (1 + τp). Réponse à un échelon E0 : s(t) = K·E0·(1 − e^(−t/τ)).
  2. Gain statique : K = s∞ ÷ E0 (valeur finale divisée par l’amplitude de l’échelon).
  3. Constante de temps : instant où la sortie atteint 63 % de sa valeur finale, ou intersection de la tangente à l’origine avec l’asymptote.
  4. Temps de réponse à 5 % : t5% = 3τ.

Les erreurs à éviter

  • Lire τ à 95 % de la valeur finale : c’est t5%, pas τ.
  • Oublier de diviser par E0 pour obtenir K.
  • Donner K sans unité : ici K s’exprime en rad·s⁻¹·V⁻¹.

Pour aller plus loin

Cet exercice est tiré du cours animé Le système du premier ordre (CPGE) : des animations à manipuler, d’autres exercices corrigés et un quiz expliqué.

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