Pourquoi « moins par moins donne plus » ?

« Moins par moins donne plus. » Tout le monde connaît la phrase, presque personne ne sait pourquoi. Ce n’est pas une règle inventée pour embêter les élèves : c’est la seule possible si l’on veut que les calculs restent cohérents.

D’où vient la règle des signes ?

Regarde cette suite de multiplications par −4 :

3 × (−4) = −12
2 × (−4) = −8
1 × (−4) = −4
0 × (−4) = 0

À chaque ligne, on enlève 1 au premier nombre, et le résultat augmente de 4. Si on continue la suite, la ligne suivante est (−1) × (−4) = +4, puis (−2) × (−4) = +8. Le résultat devient positif tout naturellement.

On peut aussi le voir avec l’opposé : multiplier par −1, c’est prendre l’opposé. L’opposé de l’opposé d’un nombre, c’est le nombre lui-même : −(−5) = 5. Changer deux fois de sens, c’est revenir au sens de départ.

L’essentiel à retenir

Signes identiques → résultat positif ; signes différents → résultat négatif

La règle vaut pour la multiplication et la division : (−3) × (−4) = +12 ; (−3) × 4 = −12 ; (−12) ÷ (−4) = +3. Avec plusieurs facteurs, on compte les signes moins : un nombre pair de « − » donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif.

Le piège à éviter

La règle des signes vaut pour la multiplication et la division, pas pour l’addition. (−3) + (−2) = −5, pas +5 : deux dettes ne font pas un gain !

Autre piège classique : (−3)² = (−3) × (−3) = 9, mais −3² = −(3 × 3) = −9. Les parenthèses changent tout.

À quoi ça sert ?

Si ta tirelire perd 2 € par jour (−2), il y a 3 jours (−3), elle contenait 6 € de plus : (−2) × (−3) = +6. La règle sert dès qu’on calcule avec des températures négatives, des altitudes sous le niveau de la mer, des dettes ou des mouvements en marche arrière.

Questions fréquentes

Pourquoi moins par moins fait plus ?

Parce que multiplier par un nombre négatif inverse le sens. Inverser deux fois le sens ramène au sens de départ : le résultat est positif. C’est aussi la seule règle qui garde la suite des multiplications cohérente.

Est-ce que moins plus moins fait plus ?

Non. Pour une addition, (−3) + (−2) = −5 : on additionne deux pertes, on obtient une perte plus grande. La règle des signes ne concerne que la multiplication et la division.

Quel est le signe de (−2) × (−3) × (−1) ?

Il y a trois facteurs négatifs, un nombre impair : le résultat est négatif. (−2) × (−3) × (−1) = −6.

La règle marche-t-elle pour la division ?

Oui, exactement de la même façon : (−20) ÷ (−5) = 4 et (−20) ÷ 5 = −4.

Pourquoi « moins par moins donne plus » ?