Si on double les longueurs, que deviennent l’aire et le volume ?
Une pizza de 30 cm de diamètre coûte à peine plus qu’une pizza de 20 cm… et pourtant, il y a plus de deux fois plus à manger ! Une maquette au 1/10 n’est pas 10 fois plus légère que l’objet réel, mais 1 000 fois. Les aires et les volumes ne suivent pas les longueurs.
Pourquoi k², pourquoi k³ ?
Si on multiplie toutes les longueurs d’une figure par 2, un carré de 1 cm de côté devient un carré de 2 cm de côté : il contient maintenant 2 × 2 = 4 petits carrés. Un cube de 1 cm d’arête devient un cube de 2 cm d’arête : il contient 2 × 2 × 2 = 8 petits cubes.
Galilée s’en servait déjà au XVIIe siècle pour expliquer pourquoi les géants n’existent pas : si un humain était 10 fois plus grand, son poids (lié au volume) serait multiplié par 1 000, mais la solidité de ses os (liée à leur section, une aire) seulement par 100. Ses jambes se briseraient.
L’essentiel à retenir
Longueurs × k → aires × k² → volumes × k³
Pizza : diamètre × 1,5 → aire × 1,5² = 2,25. Maquette au 1/10 : longueurs ÷ 10, aires ÷ 100, volumes ÷ 1 000. Les angles, eux, ne changent pas.
Le piège à éviter
Croire que l’aire double quand on double les longueurs. Non : elle est multipliée par 2² = 4. Et le volume par 2³ = 8.
À quoi ça sert ?
Comparer des prix (pizzas, pots de peinture), fabriquer des maquettes, lire un plan, comprendre pourquoi les petits animaux se refroidissent plus vite que les gros (ils ont beaucoup de surface pour peu de volume).
Questions fréquentes
Que devient l’aire si on double les longueurs ?
Elle est multipliée par 4, car 2 × 2 = 4.
Que devient le volume si on triple les longueurs ?
Il est multiplié par 27, car 3 × 3 × 3 = 27.
Les angles changent-ils lors d’un agrandissement ?
Non, ils restent identiques : seules les longueurs, les aires et les volumes changent.
Pourquoi une grande pizza est-elle souvent plus avantageuse ?
Parce que son aire augmente comme le carré du diamètre : une pizza 1,5 fois plus large contient 2,25 fois plus de pâte.
Pour aller plus loin
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