Pourquoi la courbe d’une fonction affine est-elle une droite ?
Un taxi coûte 4 € dès que tu montes (la prise en charge), puis 2 € par kilomètre. Pour 5 km : 4 + 2 × 5 = 14 €. Le prix est une fonction affine de la distance : f(x) = 2x + 4.
Des pas réguliers
À chaque kilomètre de plus, le prix augmente toujours de la même somme : 2 €. Sur un graphique, chaque pas d’une unité vers la droite fait monter le point de la même hauteur. Des pas tous identiques forment une ligne qui ne se courbe jamais : une droite.
Le nombre a (ici 2) est le coefficient directeur : il règle la pente. Le nombre b (ici 4) est l’ordonnée à l’origine : c’est la hauteur où la droite coupe l’axe vertical, le prix pour 0 km.
L’essentiel à retenir
f(x) = ax + b — a : coefficient directeur (pente) — b : ordonnée à l’origine
Si b = 0, la fonction est linéaire (f(x) = ax) : c’est une situation de proportionnalité, et la droite passe par l’origine. Si a > 0, la droite monte ; si a < 0, elle descend.
Le piège à éviter
Confondre a et b. Dans f(x) = 3x − 2, le coefficient directeur est 3 (celui qui multiplie x), l’ordonnée à l’origine est −2 (le nombre seul). Autre erreur : croire qu’une situation affine est proportionnelle. Le taxi à 10 km ne coûte pas le double du taxi à 5 km (24 € et non 28 €).
À quoi ça sert ?
Les forfaits avec abonnement, les locations avec frais fixes, la température d’un liquide qu’on chauffe régulièrement, la conversion des degrés Celsius en Fahrenheit (F = 1,8 × C + 32) : autant de situations affines.
Questions fréquentes
C’est quoi une fonction affine ?
Une fonction de la forme f(x) = ax + b, où a et b sont des nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite.
Quelle différence entre fonction affine et linéaire ?
Une fonction linéaire est une fonction affine avec b = 0 : f(x) = ax. Elle traduit une situation de proportionnalité.
Comment trouver le coefficient directeur ?
On divise l’écart des images par l’écart des nombres de départ : a = (f(x₂) − f(x₁)) ÷ (x₂ − x₁).
Que représente b sur le graphique ?
L’ordonnée du point où la droite coupe l’axe vertical.
Pour aller plus loin
La fiche mémo de cette notion
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